Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Sinopsis

El objetivo de este libro es proporcionar el material y los conocimientos necesarios a los alumnos del grado en Matemáticas de la Universidad Nacional de Educación a Distancia para superar la asignatura: "Introducción a las ecuaciones diferenciales".
La asignatura introduce al alumno en los conceptos generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias y presenta dos partes fundamentales: la teoría clásica de existencia, unicidad y prolongabilidad y la teoría cualitativa. El estudio cualitativo nos permite conocer ciertas propiedades de la solución sin conocer su expresión explícita. Este libro introduce al alumno en ambos aspectos y presenta además las técnicas clásicas de resolución de algunas ecuaciones.
El libro comienza con un capítulo introductorio que contiene los principales aspectos a tener en cuenta en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En el Capítulo 2 se presentan los métodos clásicos de resolución de ecuaciones de primer orden, tanto para ecuaciones lineales como no lineales. En el Capítulo 3 se estudian los resultados teóricos sobre existencia, unicidad y prolongabilidad de las soluciones del problema de valor inicial. El Capítulo 4 está dedicado a las ecuaciones lineales y el Capítulo 5 a los sistemas lineales, cuyo estudio es imprescindible para entender la teoría cualitativa (Capítulo 6).
El Capítulo 7 presenta una serie de problemas de ecuaciones diferenciales que aparecen en otras disciplinas, como la física o la biología. El estudio de estas ecuaciones nos permite entender el comportamiento de ciertas magnitudes expresadas como soluciones de ecuaciones diferenciales.
Con el objetivo de hacer este libro lo más autocontenido posible, se han incluido varios apéndices, entre ellos uno dedicado al teorema de la alternativa de Fredholm para aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita.
Este texto está enfocado a un aprendizaje autónomo del estudiante, presentando numerosos ejemplos y ejercicios resueltos. Se ha intentado utilizar un lenguaje preciso y claro que permita su comprensión sin dificultad. Al finalizar las demostraciones, ejemplos y ejercicios se ha introducido el símbolo ? para indicar la conclusión de la prueba o resolución.
Pido disculpas de antemano por los posibles errores y erratas que puedan aparecen en él, de los cuales soy el único responsable.
Prerrequisitos. Los conocimientos necesarios para poder seguir el texto son los adquiridos en un curso de cálculo diferencial e integral de varias variables. En el grado en Matemáticas de la UNED, dichos conocimientos se imparten en las asignaturas de "Funciones de varias variables I y II".
Utilización del texto. Para una mejor comprensión del texto se recomienda comenzar por el Capítulo 1. Dado el carácter independiente del Capítulo 2, una vez leído el Capítulo 1, es posible continuar leyendo el Capítulo 2 o pasar directamente al Capítulo 3. Se recomienda continuar con el resto de Capítulos en el orden que aparecen, teniendo en cuenta que para el estudio del Capítulo 4 y posteriores es necesario conocer los capítulos 2 y 3.
Agradezco al profesor Tommaso Leonori todas las sugerencias y comentarios realizados en esta nueva edición.
Dr. Dº José Ignacio Tello del Castillo